Halaman
SMA/MA/SMK/MAKKELASXIIEDISI REVISI 2018
Hak Cipta © 2018 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-UndangDisklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis dan laman http://buku.kemdikbud.go.id atau melalui email [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.Katalog Dalam Terbitan (KDT)Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika/ Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- . Edisi Revisi Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2018. viii, 256 hlm. : ilus. ; 25 cm. Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XIIISBN 978-602-427-114-5 (jilid lengkap)ISBN 978-602-427-117-6 (jilid 3)1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan510Penulis : Abdur Rahman As’ari, Tjang Daniel Chandra, Ipung Yuwono, Lathiful Anwar, Syaiful Hamzah Nasution, Dahliatul Hasanah, Makbul Muksar, Vita Kusuma Sari, Nur Atikah.Penelaah : Agung Lukito, Turmudi, Yansen Marpaung, Suwarsono, Sugito Adi Warsito, Ali Mahmudi.Pe-review : KartoyosoPenyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.Cetakan Ke-1, 2014 (ISBN 978-602-282-775-7)Cetakan Ke-2, 2018 (edisi revisi)Disusun dengan huruf Times New Roman, 12 pt.
MatematikaiiiKata PengantarMatematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke
disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan
kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian di atas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antarvariabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antarbeberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.Buku Matematika Kelas XII untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan
Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan siswa dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, serta berlatih berpikir rasional, kritis dan kreatif.Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan yaitu
dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.
ivKelas XII SMA/MA/SMK/MAKBuku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan siswa untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, siswa diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada
lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran, dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi
!
" kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).Tim Penulis
MatematikavDaftar IsiKata Pengantar .................................................. iiiDaftar Isi ....................................................... viBAB 1 Dimensi Tiga............................................. 1A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 1B. Diagram Alur Konsep .................................. 3C. Materi Pembelajaran ................................... 4Subbab 1.1 Jarak Antar titik ................................ 5Subbab 1.2 Jarak Titik ke Garis ........................... 13Subbab 1.3 Jarak Titik ke Bidang ......................... 18Uji Kompetensi ........................................... 25BAB 2 Statistika ................................................ 27A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 27B. Diagram Alur Konsep .................................. 29C. Materi Pembelajaran ................................... 30Subbab 2.1 Penyajian Data .............................. 32Kegiatan 2.1.1 Distribusi Frekuensi .................... 32Kegiatan 2.1.2 Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive . . . 41Subbab 2.2 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data Berkelompok .............................. 57Kegiatan 2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok ...... 58Kegiatan 2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Berkelompok ..... 68Uji Kompetensi ........................................... 79BAB 3 Peluang ................................................. 83A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 83B. Diagram Alur Konsep .................................. 85
viKelas XII SMA/MA/SMK/MAKC. Materi Pembelajaran ................................... 86Subbab 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi .... 86Kegiatan 3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian ........ 86Kegiatan 3.1.2 Penyusunan dan Pengambilan ............ 93Kegiatan 3.1.3 Menentukan Rumus Permutasi dan Penerapanya .......................... 98Kegiatan 3.1.4 Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya ......................... 107Kegiatan 3.1.5 Menentukan Rumus Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya . . . 113Kegiatan 3.1.6 Menentukan Rumus Permutasi Siklis dan Penerapannya ......................... 118Subbab 3.2 Kejadian Majemuk, Peluang Saling Lepas, Peluang Saling Bebas, dan Peluang Bersyarat ............ 128Kegiatan 3.2.1 Kejadian Majemuk .................... 128Kegiatan 3.2.2 Peluang Saling Lepas .................. 133Kegiatan 3.2.3 Peluang Saling Bebas .................. 139Kegiatan 3.2.4 Peluang Bersyarat ..................... 144Uji Kompetensi ....................................... 150BAB 4 Kekongruenan dan Kesebangunan (Pengayaan).................. 153A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 153B. Diagram Alur Konsep .................................. 155C. Materi Pembelajaran ................................... 156Subbab 4.1 Kekongruenan.............................. 156# $%%&"
'
Sudut yang Bersesuaian atau Berkorespondensidari Dua Segibanyak .................... 157Kegiatan 4.1.2: Kekongruenan Dua Segibanyak .......... 161Kegiatan 4.1.3: Menentukan Kekongruenan Dua Segitiga . . . 164Kegiatan 4.1.4: Alur Berpikir dalam Pembuktian Deduktif . . 175
MatematikaviiKegiatan 4.1.5: Menentukan Kekongruenan Bangun Datar dengan Bangun Datar Hasil Transformasi (Rotasi, Pergeseran, Dilatasi/Perbesaran, Pencerminan) ......................... 182Subbab 4.2 Kesebangunan ............................. 192# $*%& "
#
+ - Datar ............................... 196# $**& "
' ' Sebangun ............................ 199Kegiatan 4.2.3: Menentukan Kesebangunan Bangun Fatar dengan Bangun Datar Hasil Transformasi (Rotasi, Pergeseran, Dilatasi/Perbesaran, Pencerminan) ......................... 216# $*$& " ; ;
;
' yang Bersesuaian dari Dua Segitiga yang Sebangun ............................ 223Uji Kompetensi ........................................... 231Glosarium ...................................................... 233Daftar Pustaka ................................................... 238
.................................................... 239
.................................................. 248
< ..................................................... 254
Dimensi TigaKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang).4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis,dan titik ke bidang).Melalui pembelajaran dimensi tiga, siswa mem-peroleh pengalaman belajar:1. Mengamati dan mendeskripsikan masalah jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang pada ruang.2. Mengamati dan menerapkan konsep jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang untuk menyelesaikan masalah pada dimensi tiga.3. Mengonstruksi rumus jarak dua titik dan jarak titik ke garis.
Istilah PentingBAB1A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
2Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK
Euclid merupakan seorang matematikawan yang hidup sekitar tahun 300 SM di Alexandria dan sering disebut sebagai ”Bapak Geometri”. Dialah yang mengungkapkan bahwa:1. titik adalah 0 dimensi,2. garis adalah 1 dimensi yaitu garis itu sendiri,3. persegi dan bangun datar lainnya adalah 2 dimensi yaitu panjang dan lebar,4. bangun ruang adalah 3 dimensi yaitu panjang lebar tinggi,5. tidak ada bangun geometri 4 dimensi.Dalam bukunya ”The Elements”, ia menyatakan 5 postulat yang menjadi landasan dari semua teorema yang ditemukannya.Postulat dan teorema yang beliau ungkapkan merupakan landasan teori tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang hingga kini masih digunakan dengan hampir tanpa perubahan yang prinsip. Euclid menulis 13 jilid buku tentang geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma(pernyataan pernyataan sederhana) dan membangun dalil tentang geometri berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Contoh dari aksioma Euclid adalah, ”Ada satu dan hanya satu garis lurus, di mana garis lurus tersebut melewati dua titik”. Buku-buku karangannya menjadi hasil karya penting dan menjadi acuan dalam pembelajaran Ilmu Geometri. Bagi Euclid, matematika itu penting sebagai bahan studi dan bukan sekedar alat untuk mencari nafkah. Ketika ia memberi kuliah geometri pada seorang raja, Raja tersebut bertanya, ”Tidak adakah cara yang lebih mudah bagi saya untuk mengerti dalam mempelajari geometri?”. Euclid menjawab, ”Bagi Raja tak ada jalan yang mudah untuk mengerti geometri. Setiap orang harus berpikir ke depan tentang dirinya apabila ia sedang belajar”.Sumber: Hosch, W.L. 2011. The Britannica Guide to Geometry. New York: Britannica Educational PublishingBeberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik, adalah:1. Ilmu bukanlah sekedar alat untuk mencari nafkah dalam memenuhi kebutuhan hidup, tetapi untuk mencari nafkah seseorang harus mempunyai ilmu.2. Jalan pintas bukanlah suatu hal yang baik untuk seseorang yang memang benar-benar ingin belajar.Sumber: The Britannica Guide to Geometry
Matematika3 B. Diagram Alur KonsepPenerapan dalam Kehidupan Sehari-haridigunakanRumusPembantuPrasyaratuntukPrasyaratuntukmempelajariDIMENSI TIGAJarak Titik ke TitikJarak Titik ke GarisJarak Titik ke BidangTeorema Pythagoras
4Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMemanfaatkan Atap Rumah Sebagai RuanganSaat ini banyak orang yang me-manfaatkan atap rumah sebagai ruang berkumpul atau ruang tidur. Pemanfaatan atap sebagai ruangan dilakukan mengin-gat keterbatasan lahan yang dimiliki oleh pemilik rumah. Untuk menghemat biaya pembuatan rumah, salah satu aspek yang harus diperhatikan adalah biaya pembuat-an kuda-kuda rumah. Penentuan Rincian Anggaran (RAB) pembuatan kuda-kuda dapat ditentukan dengan matematika. Untuk mendapatkan rincian biaya terse-but, salah satu konsep yang dapat diguna-kan adalah dimensi tiga. Konsep yang dimaksud jarak titik dengan titik atau titik dengan garis.Perhatikan Gambar 1.2 tentang kuda-kuda rumah. Dari gambar tersebut dapat ditentukan biaya pembuatan kuda-kuda. Biaya ini tergantung dari panjang keseluruhan kayu, jenis kayu dan dimensi kayu (panjang, lebar, dan tinggi). Kuda-kuda suatu rumahSumber: http://www.megatrussglobal.com/2014/04/analisis-perbandingan-harga-konstruksi.html C. Materi Pembelajaran Ruangan AtapSumber: https://septanabp.wordpress.com/tag/attic/
Matematika5Perhatikan bentuk-bentuk bangun ruang yang sering Anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya kamar tidur yang berbentuk balok, kotak makanan yang berbentuk kubus, kaleng susu yang berbentuk tabung dan lain sebagainya. Pernahkah Anda berpikir bahwa dalam bangun-bangun tersebut terdapat beberapa istilah yang akan dibahas pada bab ini yaitu jarak antartitik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang. Agar Anda memahami istilah tersebut, lakukan beberapa kegiatan berikut ini. Beberapa wadah berbentuk balok.Subbab 1.1 Jarak Antar titikPerhatikan bangun ruang berikut ini.PRQEHGCDABFI(a)(b) Bangun 1.1.a merupakan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 3 cm. EC, EG, dan AC, masing-masing merupakan jarak antara titik E dengan C, titik E dengan G, serta titik A dengan titik C. Pada Bangun 1.1.b jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ. Untuk memahami konsep jarak dua titik perhatikan aktivitas berikut.
6Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.1Bangun 1.2 berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota.DC23 km20 km16 km18 km17 km27 kmBA Gambar Kota dan jalan yang menghubungkannyaNasyitha berencana menuju kota C berangkat dari kota A. Tentukan rute perjalanan yang mungkin ditempuh oleh Nasyitha. Tulis kemungkinan rute yang ditempuh Nasyitha pada Tabel 1.1. Kemudian tentukan panjang rute-rute tersebut. Rute manakah yang terpendek? Menurut pendapat Anda berapa jarak antara kota A dan C? Beri alasan untuk jawaban Anda.
Kemungkinan Rute yang ditempuh NasyithaNo ! "# $ %1.2.3.4.5.
Matematika7Dari masalah di atas, jarak antara Kota A dan C adalah 27 km.Masalah 1.2Perhatikan masalah berikut ini.ABG2G1 & Jarak Dua TitikJika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1 dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Dari G1 dan G2 dapat dilakukan pemasangan satu-satu antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2.Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda.Dari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Salah satu contoh pertanyaan yang mungkin Anda tanyakan adalah ”Apa pengertian jarak antara dua titik?”Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.
8Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKUntuk lebih memahami jarak antar titik, isilah tabel berikut ini. Anda dapat menggunakan informasi dari sumber lain untuk menyelesaikan pertanyaan pada Tabel 1.2.
Jarak antar titik dalam bangun ruang' " ()1.ADBCEFHGa. Manakah yang merupakan jarak antara titik F dan G?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?2.ORQPMLKNa. Manakah yang merupakan jarak antara titik P dan N?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik Q dan L?3.EABCGHDFa. Manakah yang merupakan jarak antara titik E dan F?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?4.ABCDTa. Manakah yang merupakan jarak antara titik T dan D?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?
Matematika9Masalah 1.3Dalam suatu kamar berukuran 4m × 4m × 4m dipasang lampu tepat di-tengah-tengah atap. Kamar tersebut digambarkan sebagai kubus ABCD.EFGH. Berapa jarak lampu ke salah satu sudut lantai kamar?Alternatif PenyelesaianMisal kamar tersebut digambarkan sebagai kubus ABCD.EFGH dan lampu dinyatakan dengan titik T seperti berikut.ADBCEFHTG Kubus ABCD.EFGH sebagai representasi kamarJarak lampu ke salah satu sudut lantai kamar adalah jarak titik T ke titik A atau titik B atau titik C atau titik D. Titik T merupakan titik tengah bidang EFGH, sehingga TA = TB = TC = TD. Akan dicari jarak titik T ke titik A. Jarak titik T ke titik A salah satunya dapat dicari dari segitiga AET. Karena AE tegak lurus dengan ET, maka segitiga AET merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di E. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh 222ATAEET.* +#ET.Oleh karena T merupakan titik tengah, maka ET = 12EG. Karena EG merupakan diagonal bidang, panjang ET = 12.4 2 2 2.222224222426ATAEETATEATJadi jarak lampu ke salah satu sudut lantai adalah 26 m.
10Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMengonstruksi Rumus Jarak Antar TitikRadar (dalam bahasa inggris merupakan singkatan dari Radio Detection and Ranging) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk mendeteksi, mengukur jarak dan membuat peta benda-benda seperti pesawat terbang, kapal laut, berbagai kendaraan bermotor dan informasi cuaca. Radar dapat mendeteksi posisi suatu benda melalaui layar seperti berikut. , Tampilan Layar RadarSumber: http://www.dreamstime.com/royalty-free-stock-image-radar-screen-image28624986Titik dalam radar tersebut merepresentasikan objek yang dideteksi radar. Titik pusat radar adalah lokasi sinyal radar dipancarkan. Untuk menentukan jarak suatu benda, ternyata dapat digunakan rumus matematika. Bagaimana cara menentukan jarak tersebut? Misalnya pusat radar dinotasikan sebagai titik A 11(, )xy dan objek yang terdeteksi dinotasikan sebagai titik B 22(, )xy.B 22(, )xyA 11(,)xy - Dua titik A dan B
Matematika11Bagaimana menentukan rumus umum untuk menentukan jarak kedua titik tersebut?Perhatikan Gambar 1.7, Dua titik dihubungkan dengan ruas garis, kemudian dibuat segitiga siku-siku seperti berikut.B 22(, )xyCA 11(,)xy . Segitiga siku-siku ACB.Tentukan panjang BC dan AC. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, hitunglah panjang AB.Dari kegiatan yang telah Anda lakukan di atas, buatlah simpulan tentang jarak antara dua titik dan bagaimana menentukannya. Tukarkan simpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Tulis simpulan pada tempat berikut.
12Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSoal Latihan 1.1Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Diketahui limas beraturan T.ABC dengan bidang alas berbentuk segitiga sama sisi. TA tegak lurus dengan bidang alas. Jika panjang AB = 42 cm dan TA = 4 cm, tentukan jarak antara titik T dan C!2. Perhatikan limas segi enam beraturan berikut.ABCDFETDiketahui panjang AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Titik O merupakan titik tengah garis BE. Tentukan jarak antara titik T dan O!3. Perhatikan bangun berikut ini.EHGCBADFJika diketahui panjang AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, maka tentukan:a. Jarak antara titik A dan Cb. Jarak antara titik E dan Cc. Jarak antara titik A dan G
Matematika13Subbab 1.2 Jarak Titik ke GarisAmati dengan cermat informasi pada tabel berikut. Tabel 1.3 menyajikan informasi tentang jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga.
Jarak titik ke garis pada bangun ruang.' 1.ADBCEFHGDari gambar di samping, panjang ruas garis EA adalah jarak antara titik E dengan ruas garis AB. Panjang ruas garis BC merupakan jarak antara titik C dengan ruas garis AB.2.ORQPMLKNDari gambar di samping, panjang ruas garis OR merupakan jarak antara titik R dengan ruas garis OP.3.EABCGHDFDari gambar di samping, panjang ruas garis DC merupakan jarak antara titik D dengan ruas garis BC.Panjang ruas garis AE merupakan jarak antara titik A dengan ruas garis EF.Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda.
14Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.Masalah 1.4Tiga paku ditancapkan pada papan sehingga menjadi titik sudut segitiga siku-siku (lihat Gambar 1.8.a). Seutas tali diikatkan pada dua paku yang ditancapkan (lihat Gambar 1.8.b). Misal paku-paku tersebut digambarkan sebagai titik A, B, dan C seperti Gambar 1.8.c dengan AC = 6 cm, BC = 8 cm, dan AB = 10 cm. / a / b / c / Ilustrasi paku yang ditancapkan di papanMelalui eksperimen kecil, tentukan panjang tali minimal yang meng-hubungkan paku C (titik C) dengan tali yang terpasang pada paku A dan paku B (ruas garisAB). Apa syarat yang harus dipenuhi agar mendapat-kan panjang tali minimal? Beri alasan untuk jawaban Anda.
Matematika15Masalah 1.5Diberikan kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. Jika panjang rusuk kubus adalah 2 cm, berapakah jarak titik A ke diagonal bidang EB?ADBCEFHGAlternatif PenyelesaianJika titik E dan B dihubungkan dengan ruas garis, maka diperoleh,EABIJarak titik A ke EB adalah panjang ruas garis AI dengan BI = 12BE, mengapa?Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh 22AIABBI.222222 22EBAEAB,sehingga 1122.2 2 2BIBE.222 222 2AIABBIJadi jarak titik A ke diagonal bidang EB adalah 2 cm.
16Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.6Diberikan segitiga siku-siku ABC seperti berikut. Misal AB = c, BC = a, AC = b dan CD = d. Garis CD merupakan garis tinggi. Bagaimana menentu-kan d, apabila a, b, dan c diketahui?ACBDAlternatif PenyelesaianPerhatikan segitiga siku-siku ABC. Luas ABC = 12BCAC = 12ab. Selain itu Luas ABC = 12AB.CD = 12cd. Sehingga diperoleh Luas ABC = Luas ABC12ab = 12cdab = cdd = abcDari kegiatan yang telah Anda lakukan di atas, buatlah simpulan tentang jarak titik ke garis dan bagaimana menentukannya. Tukarkan simpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Tulis simpulan pada tempat berikut.
Matematika17Soal Latihan 1.2Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.2. Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT =13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 10 cm. Tentukan:a. jarak titik F ke garis ACb. jarak titik H ke garis DF4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.5. Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.ABCDPQTTitik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!
18Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSubbab 1.3 Jarak Titik ke BidangUntuk lebih memahami tentang jarak titik ke bidang amatilah tabel berikut.
& Jarak titik ke bidang' 1.ADBCEFHGPanjang ruas garis BC merupakan jarak antara titik B dengan bidang DCGH.Panjang ruas garis CD merupakan jarak antara titik C dengan bidang ADHE.2.ORQPMLKNPanjang ruas garis KN merupakan jarak antara titik K dengan bidang MNRQ.Panjang ruas garis OP merupakan jarak antara titik O dengan bidang LMQP.3.EABCGHDFPanjang ruas garis HE merupakan jarak antara titik H dengan bidang ABFE.Panjang ruas garis CG merupakan jarak antara titik C dengan bidang EFGH.
Matematika19Masalah 1.7Tiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung. Tiang pe-nyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada Gambar 1.9 berikut. 0 Tiang Penyangga Atap Bangunan Sumber: http://www.ideaonline.co.id/iDEA2013/Eksterior/Fasad/Batu-Alam-Mencerahkan-Tampilan-Fasad/Tiang-Penyangga-AtapPada Gambar 1.9 Apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh gambar seperti berikut.AtapKayu P enyangga 2 Tampak Samping Tiang Penyangga Atap Bangunan
20Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDari Gambar 1.10, cermati gambar kayu penyangga dan atap. Dapatkah Anda menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin?Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda.Dari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.
Matematika21Masalah 1.8Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di samping. Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD? Bidang AFGD pada Kubus ABCD.EFGHAlternatif PenyelesaianUntuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT. Titik T adalah titik tengah diagonal bidang AF(mengapa?). Panjang AF adalah 42 cm, sehingga panjang AT adalah 22 cm. Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku. Sehingga: 2222422 22TBABATJadi jarak titik B ke bidang AFGD adalah 22 cm.
22Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.9Masalah 1.9 serupa dengan Masalah 1.8. Pada Masalah 1.9 siswa diberi limas T.ABCD dengan alas persegi dan siswa diminta untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC.Diberikan limas T.ABCD dengan alas persegi. Titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD. Jika AB = BC = CD = AD = 6 cm, TA = TB = TC = TD = 36 cm dan tinggi limas 6 cm, berapakah jarak antara titik O dengan bidang TBC?DABOCT Limas T.ABCDAlternatif PenyelesaianPerhatikan Gambar 1.13 berikut ini. DABOPQCT Jarak titik O ke bidang TBC.
Matematika23Untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC, dibuat ruas garis OP dengan OP sejajar AB, OP = 12AB = 3 cm dan TO = 6 cm. Misal titik Q terletak pada bidang TBC, titik Q terletak pada TP dengan TP terletak pada bidang TBC dan OQ tegak lurus TP. Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis TP dengan OQ =OP TOTP (darimana?)Oleh karena TP = 222263 4535TOOP, maka:OQ = 36 65535OP TOTPJadi, jarak titik O ke bidang TBC adalah 655 cm.Dari kegiatan yang telah Anda lakukan di atas, buatlah simpulan tentang jarak titik ke bidang dan bagaimana menentukannya. Tukarkan simpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Tulis simpulan pada tempat berikut.
24Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSoal Latihan 1.3Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.2. Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut. ABEFDCTernyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm dan BC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE!3. Dari gambar di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm dan <VWYZY! - V<EHGCDABF4. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC . Panjang AB = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC.5. Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 294 cm2. Tentukan:a. Jarak antara titik F ke bidang ADHE.b. Jarak antara titik B ke bidang ACH.
Matematika25Uji Kompetensi Jawablah pertanyaan berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Perhatikan gambar berikut.ABDEC37 m32 m37 m28 m23 m29 m17 m19 m25 m(a)(b)(c)P2P2gP1PP3P1KQRPa. Dari Gambar (a), tentukan jarak dari titik A ke D.b. Dari Gambar (b), tentukan jarak titik P terhadap garis g.c. Dari Gambar (c), tentukan jarak titik P pada bidang-K.2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG. Kemudian hitunglah jarak titik F ke bidang BEG.3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a, dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a.a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.b. Tentukan PQ.4. Panjang setiap bidang empat beraturan T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, tentukan PQ.5. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Tentukan jarak titik H ke DF.ADBCEFHG6 cm
26Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK6. Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Tentukan perbandingan volum limas P.BCS dan volum kubus ABCD.EFGH.7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH.Tentukan jarak titik A ke titik S.8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH.9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis CF.10. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik C dengan bidang BDG.